Теорема виета для уравнения 3 степени. Формула теоремы виета, и примеры решения
2.5 Формула Виета для многочленов (уравнений) высших степеней
Формулы, выведенные Виетом для квадратных уравнений, верны и для многочленов высших степеней.
Пусть многочлен
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
Имеет n различных корней x 1 , x 2 …, x n .
В этом случае он имеет разложение на множители вида:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Разделим обе части этого равенства на a 0 ≠ 0 и раскроем в первой части скобки. Получим равенство:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n -2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Например, для многочленов третей степени
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Имеем тождества
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Как и для квадратных уравнений, эту формулу называют формулами Виета. Левые части этих формул являются симметрическими многочленами от корней x 1 , x 2 …, x n данного уравнения, а правые части выражаются через коэффициент многочлена.
2.6 Уравнения, сводимые к квадратным (биквадратные)
К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени:
ax 4 + bx 2 + c = 0,
называемые биквадратными, причем, а ≠ 0.
Достаточно положить в этом уравнении х 2 = y, следовательно,
ay² + by + c = 0
найдём корни полученного квадратного уравнения
y 1,2 =
Чтобы найти сразу корни х 1, x 2, x 3, x 4 , заменим y на x и получим
x² =
х 1,2,3,4 = .
Если уравнение четвёртой степени имеет х 1 , то имеет и корень х 2 = -х 1 ,
Если имеет х 3 , то х 4 = - х 3 . Сумма корней такого уравнения равна нулю.
2х 4 - 9x² + 4 = 0
Подставим уравнение в формулу корней биквадратных уравнений:
х 1,2,3,4 = ,
зная, что х 1 = -х 2 , а х 3 = -х 4 , то:
х 3,4 =
Ответ: х 1,2 = ±2; х 1,2 =
2.7 Исследование биквадратных уравнений
Возьмем биквадратное уравнение
ax 4 + bx 2 + c = 0,
где a, b, c –действительные числа, причем а > 0. Введя вспомогательную неизвестную y = x², исследуем корни данного уравнения, и результаты занесем в таблицу (см. приложение №1)
2.8 Формула Кардано
Если воспользоваться современной символикой, то вывод формулы Кардано может иметь такой вид:
х =
Эта формула определяет корни общего уравнения третей степени:
ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Эта формула очень громоздкая и сложная (она содержит несколько сложныных радикалов). Она не всегда примениться, т.к. очень сложна для заполнения.
F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...
Список или выбрать из 2-3 текстов наиболее интересные места. Таким образом, мы рассмотрели общие положения по созданию и проведению элективных курсов, которые будут учтены при разработке элективного курса по алгебре для 9 класса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром». Глава II. Методика проведения элективного курса «Квадратные уравнения и неравенства с параметром» 1.1. Общие...
Решения от численных методов расчёта. Для определения корней уравнения не требуется знания теорий групп Абеля, Галуа, Ли и пр. и применения специальной математической терминологии: колец, полей, идеалов, изоморфизмов и т.д. Для решения алгебраического уравнения n - ой степени нужно только умение решать квадратные уравнения и извлекать корни из комплексного числа. Корни могут быть определены с...
С единицами измерений физических величин в системе MathCAD? 11. Подробно охарактеризуйте текстовые, графические и математические блоки. Лекция №2. Задачи линейной алгебры и решение дифференциальных уравнений в среде MathCAD В задачах линейной алгебры практически всегда возникает необходимость выполнять различные операции с матрицами. Панель операторов с матрицами находится на панели Math. ...
Список литературы
Алгебра: учебник для учащихся 9 класса с углублённым изучением математики/ Н.Я.Виленкин, А.Н.Виленкин, Г.С.Сурвилло и др.
Бабинская, И. Л. Задачи математических олимпиад. / И. Л. Бабинская – М.: Просвещение, 1975.
Болгарский Б. В. Очерки по истории математики/ Б. В. Болгарский. – Минск, 1979.
Математическая энциклопедия / т.2, под ред. Виноградова И.М. М.: Советская энциклопедия, 1979г.
Перельман, Я.И. Занимательная алгебра. / Я. И. Перельман – М.: Наука, 1976г.
Школьная энциклопедия. Математика. / под редакцией Никольский С. М. – Москва: Издательство «Большая российская энциклопедия», 1996.
Элективные ориентационные курсы и другие средства профильной ориентации в предпрофильнной подготовке школьников. Учебно-методическое пособие / Науч. ред. С. Н. Чистяков. М.: АПК и ПРО, 2003.
Сайт "Спроси Алену", Веб-сайт EqWorld, http://alexlarin.narod.ru/Stats/pavlova1.html
Одним из методов решений квадратного уравнения является применение формулы ВИЕТА , которую назвали в честь ФРАНСУА ВИЕТА.
Он был известным юристом, и служил в 16 веке у французского короля. В свободное время занимался астрономией и математикой. Он установил связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.
Достоинства формулы:
1 . Применив формулу, можно быстро найти решение. Потому что не нужно вводить в квадрат второй коэффициент, затем из него вычитать 4ас, находить дискриминант, подставлять его значение в формулу для нахождения корней.
2 . Без решения можно определить знаки корней, подобрать значения корней.
3 . Решив систему из двух записей, несложно найти сами корни. В приведенном квадратном уравнении сумма корней равна значению второго коэффициента со знаком минус. Произведение корней в приведенном квадратном уравнении равно значению третьего коэффициента.
4 . По данным корням записать квадратное уравнение, то есть решить обратную задачу. Например, этот способ применяют при решении задач в теоретической механике.
5 . Удобно применять формулу, когда старший коэффициент равен единице.
Недостатки:
1
. Формула не универсальна.
Теорема Виета 8 класс
Формула
Если x 1
и x 2
- корни приведенного квадратного уравнения x 2 + px + q = 0
, то:
Примеры
x 1 = -1; x 2 = 3 - корни уравнения x 2 - 2x - 3 = 0.
P = -2, q = -3.
X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,
X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.
Обратная теорема
Формула
Если числа x 1 , x 2 , p, q
связаны условиями:
То x 1 и x 2 - корни уравнения x 2 + px + q = 0 .
Пример
Составим квадратное уравнение по его корням:
X 1 = 2 - ? 3 и x 2 = 2 + ? 3 .
P = x 1 + x 2 = 4; p = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.
Искомое уравнение имеет вид: x 2 - 4x + 1 = 0.
Теорема Виета
Пусть и обозначают корни приведенного квадратного уравнения
(1)
.
Тогда сумма корней равна коэффициенту при ,
взятому с обратным знаком. Произведение корней равно свободному члену:
;
.
Замечание по поводу кратных корней
Если дискриминант уравнения (1) равен нулю, то это уравнение имеет один корень. Но, чтобы избежать громоздких формулировок, принято считать, что в этом случае, уравнение (1) имеет два кратных, или равных, корня:
.
Доказательство первое
Найдем корни уравнения (1). Для этого применим формулу для корней квадратного уравнения :
;
;
.
Находим сумму корней:
.
Чтобы найти произведение, применим формулу:
.
Тогда
.
Теорема доказана.
Доказательство второе
Если числа и являются корнями квадратного уравнения (1), то
.
Раскрываем скобки.
.
Таким образом, уравнение (1) примет вид:
.
Сравнивая с (1) находим:
;
.
Теорема доказана.
Обратная теорема Виета
Пусть и есть произвольные числа. Тогда и являются корнями квадратного уравнения
,
где
(2)
;
(3)
.
Доказательство обратной теоремы Виета
Рассмотрим квадратное уравнение
(1)
.
Нам нужно доказать, что если и ,
то и являются корнями уравнения (1).
Подставим (2) и (3) в (1):
.
Группируем члены левой части уравнения:
;
;
(4)
.
Подставим в (4) :
;
.
Подставим в (4) :
;
.
Уравнение выполняется. То есть число является корнем уравнения (1).
Теорема доказана.
Теорема Виета для полного квадратного уравнения
Теперь рассмотрим полное квадратное уравнение
(5)
,
где ,
и есть некоторые числа. Причем .
Разделим уравнение (5) на :
.
То есть мы получили приведенное уравнение
,
где ;
.
Тогда теорема Виета для полного квадратного уравнения имеет следующий вид.
Пусть и обозначают корни полного квадратного уравнения
.
Тогда сумма и произведение корней определяются по формулам:
;
.
Теорема Виета для кубического уравнения
Аналогичным образом мы можем установить связи между корнями кубического уравнения. Рассмотрим кубическое уравнение
(6)
,
где ,
,
,
есть некоторые числа. Причем .
Разделим это уравнение на :
(7)
,
где ,
,
.
Пусть ,
,
есть корни уравнения (7) (и уравнения (6)). Тогда
.
Сравнивая с уравнением (7) находим:
;
;
.
Теорема Виета для уравнения n-й степени
Тем же способом можно найти связи между корнями ,
,
... , ,
для уравнения n-й степени
.
Теорема Виета для уравнения n-й степени имеет следующий вид:
;
;
;
.
Чтобы получить эти формулы мы записываем уравнение в следующем виде:
.
Затем приравниваем коэффициенты при ,
,
,
... , и сравниваем свободный член.
Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.
С.М. Никольский, М.К. Потапов и др., Алгебра: учебник для 8 класса общеобразовательных учреждений, Москва, Просвещение, 2006.