Техническая механика реакции связей. Техническая механика
Всякое свободное тело в пространстве имеет шесть степеней свободы: оно может перемещаться вдоль трех осей и вращаться относительно этих осей. В свободном состоянии тела находятся редко, в большинстве случаев их перемещение ограничено связями. Связями называют ограничения, исключающие возможность движения тела в определенном направлении. Если па закрепленное тело действуют активные силы, то в связях возникают реактивные силы или реакции, дополняющие систему активных сил до равновесной. Совокупность активных и реактивных уравновешенных сил определяет напряженное состояние тела и его деформацию.
Реакции связей находят с помощью уравнений равновесия. При этом решение ведется по следующему плану:
- выявляют внешние активные силы, приложенные к выделенному телу или группе тел;
- выделенный объект (тело) освобождают от связей и вместо них прикладывают силы реакции связей;
- выбрав координатные оси, составляют уравнения равновесия и, решив их, находят силы реакции связей.
Для пространственной системы сил можно составить шесть уравнений равновесия (13.7). С помощью этих уравнений определяются шесть неизвестных реакций.
Задачи, решаемые только с помощью уравнений равновесия статики, называют статически определимыми. Если на выделенный объект будет наложено большее число связей, то задача становится статически неопределимой и для ее решения кроме уравнений равновесия необходимо использовать дополнительные уравнения, составляемые на основании анализа деформаций. В общем случае закрепление или соединение двух деталей может исключать от одной до шести степеней свободы, т.е. накладывать от одной до шести связей. В соответствии с этим в закреплении может возникнуть от одной до шести реакций. Количество реактивных сил и их направление зависят от характера связей.
Приведем наиболее распространенные типы закрепления и соединения деталей.
- 1. Соединения, исключающие возможность перемещения только в одном направлении. В таких соединениях возникает только одна реакция определенного направления. К соединениям этого типа относятся:
- а) соединение посредством касания двух тел в точке или по линии. При касании возникает реакция, направленная по общей нормали к поверхностям касания (рис. 13.5). Такое соединение называется шарнирно-подвижным;
Рис . 13.5.
- б) соединение, осуществляемое тросом, нитыо, цепыо, дает реакцию, направленную вдоль гибкой связи, причем такая связь может работать только на растяжение (см. рис. 13.5, б );
- в) соединение в виде жесткого прямого стержня с шарнирным закреплением концов также дает реакцию, направленную вдоль оси стержня (см. рис. 13.5, в) у но может работать как на растяжение, так и па сжатие.
Рис. 13.6.
На рис. 13.5, г показано тело с тремя наложенными на него связями; каждая связь исключает возможность движения в одном направлении и дает одну реакцию, направление которой известно.
- 2. Закрепление или соединение, исключающее перемещения по двум направлениям и соответственно дающее две реакции, носит название шарнирно-неподвижной опоры или цилиндрического шарнира (рис. 13.6).
- 3. Соединение, исключающее перемещения по трем направлениям и дающее три реакции, носит название пространственного или шарового шарнира (рис. 13.7).
- 4. Закрепление, исключающее все шесть степеней свободы, носит название жесткого закрепления или заделки. В заделке могут возникнуть шесть реактивных силовых факторов - три реактивные силы и три реактивных момента (рис. 13.8). При действии на тело с жесткой заделкой сил, расположенных в одной плоскости, в заделке возникают две реактивные силы и один реактивный момент.
Рис. 13.7.
Рис. 13.8.
При расчетах опоры схематизируют и условно делят на три основных группы:
- шарнирно-подвижная (рис. 13.9, а), воспринимающая только одну линейную реакцию /?;
- шарнирно-неподвижная (рис. 13.9, б), воспринимающая две линейные реакции R и Н.
- защемление , или заделка (рис. 13.9, в ), воспринимающая линейные реакции R и Н и момент М.
Рис. 13.9.
При соприкосновении реальных тел и при их относительном движении в местах их контакта возникают силы трения, которые можно рассматривать как особый вид реактивных сил. Сила трения расположена в плоскости касания тел; при движении она направлена в сторону, противоположную относительной скорости тела.
Пример. Вал 1 с закрепленным на нем зубчатым колесом 2 установлен в двух подшипниках А и В. Па свободном конце вала насажен шкив ременной передачи 3 (рис. 13.10), Известны геометрические размеры а , с, передававшие крутящий момент М, диаметр шкива Д все параметры конического зубчатого колеса, а также соотношение сил натяжения ремня F a JF al = 2. Требуется определить реакции опор и силы натяжения ремня.
Рис. 13.10.
Решение проводим в три этана.
1. Выявляем активные силы, действующие в системе. Па коническое зубчатое колесо действует пространственно расположенная сила, составляющие которой по осям координат обозначены соответственно F v F r и F a . Составляющая F { , называемая окружной силой, определяется но заданному крутящему моменту на основании уравнения моментов относительно оси z
Радиальная составляющая F r и осевая составляющая F a определяются но окружной силе F ( на основании заданной геометрии зубчатого конического колеса.
2. Освобождаем вал (объект равновесия) от связей и вместо них прикладываем силы реакции Х л У л, Х в, Y B Z B .
Подшипники А и В следует рассматривать как шарнирные опоры, так как в них всегда имеются зазоры. В опоре А возникают две реакции Х л и У л, так как эта опора запрещает перемещение вала только в поперечных направлениях. В правой опоре возникают три реакции Х в, У в и Z B , так как она ограничивает перемещение вала также и в осевом направлении. Активные и реактивные силы в совокупности образуют пространственную систему уравновешенных сил.
3. Выбираем систему координат: оси х и у располагаем в плоскости, перпендикулярной оси вала, а ось z направляем по оси вала. Составляем шесть уравнений равновесия, используя (13.7) и (13.8).
Используя заданное условие F al = 2F ii2 и решив уравнения равновесия, найдем силы F aV F a2 и реакции опор
Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела.
Все тела делятся на свободные и связанные.
Свободные тела - тела, перемещение которых не ограничено.
Связанные тела - тела, перемещение которых ограничено другими телами.
Тела, ограничивающие перемещение других тел, называют связями.
Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей.
Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.
Всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей).
Все связи можно разделить на несколько типов.
Связь - гладкая опора (без трения)
Рисунок 1
Реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре (рис. 1).
Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь) Груз подвешен на двух нитях (рис. 2).
Рисунок 2
Жесткий стержень
На схемах стержни изображают толстой сплошной линией (рис. 3).
Рисунок 3
Стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.
Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент наложенными на него связями.
Убираем стержень 1, в этом случае стержень 2 падает вниз. Следовательно, сила от стержня 1 (реакция) направлена вверх. Убираем стержень 2. В этом случае точка А опускается вниз, отодвигаясь от стены. Следовательно, реакция стержня 2 направлена к стене.
Шарнирная опора
Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров.
Подвижный шарнир
Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки) (рис. 4).
Рисунок 4
Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. к. не допускается только перемещение поперек опорной поверхности.
Неподвижный шарнир
Точка крепления перемещаться не может. Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее принято изображать в виде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной ( Rx ; R у) (рис. 5).
Рисунок 5
Защемление или «заделка»
Любые перемещения точки крепления невозможны.
Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент М R , препятствующий повороту (рис. 6).
Рисунок 6
Реактивную силу принято представлять в виде двух составляющих вдоль осей координат
Примеры решения задач
Пример 1. Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии (рис. 7). Изобразить систему сил, действующих на шарнир А.
Рисунок 7
Решение
1. Реакции стержней направлены вдоль стержней, реакции гибких связей направлены вдоль нитей в сторону натяжения (рис. 7а).
2. Для определения точного направления усилий в стержнях мысленно убираем последовательно стержни 1 и 2. Анализируем возможные перемещения точки А.
Неподвижный блок с действующими на него силами не рассматриваем.
3. Убираем стержень 1, точка А поднимается и отходит от стены, следовательно, реакция стержня 1 направлена к стене.
4. Убираем стержень 2, точка А поднимается и приближается к стене, следовательно, реакция стержня 2 направлена от стены вниз.
5. Канат тянет вправо.
6. Освобождаемся от связей (рис. 7б).
Пример 2. Шар подвешен на нити и опирается на стену (рис. 8а). Определить реакции нити и гладкой опоры (стенки).
Рисунок 8
Решение
1. Реакция нити - вдоль нити к точке В вверх (рис. 8б).
2. Реакция гладкой опоры (стенки) - по нормали от поверхности опоры.
Контрольные вопросы и задания
4. Укажите возможное направление реакций в опорах (рис. 9).
Рисунок 9
Связи и их реакции Свободное тело – это тело, которое может совершать из данного положения любые перемещения в пространстве. Несвободное тело – тело, перемещению которого в пространстве препятствуют какиенибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела. Связь – это все, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве.
Силой давления на связь называется сила, действующая на тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение, которому препятствует связь. Одновременно, по закону о равенстве действия и противодействия связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно направленной силой. Силой реакции связи или просто реакцией связи называется сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям. Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.
Направление реакции связи основных взаимодействий: Сферическ ий шарнир и подпятник Гладкая плоскость или опора Невесомый стержень Цилиндрически й шарнир (подшипник) Нить
Направление реакции связи основных взаимодействий: 1. Гладкая плоскость или опора. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра к поверхности соприкасающихся тех в точке их касания.
Направление реакции связи основных взаимодействий: Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой, то реакция направлена по нормали к другой поверхности.
Направление реакции связи основных взаимодействий: 2. Нить. Связь осуществляется в виде гибкой нерастяжимой нити. Она не дает удаляться телу от точки подвеса нити (.)А. Реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити к точке подвеса.
Направление реакции связи основных взаимодействий: 3. Цилиндрический шарнир (подшипник) осуществляет такое соединение двух тел, при котором одно тело может вращаться по отношению к другому вокруг общей оси, называемой осью шарнира. Если тело АВ прикреплено с помощью такого шарнира к неподвижной опоре D, то (.)А тела не может при этом переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному оси шарнира.
Направление реакции связи основных взаимодействий: 4. Сферический шарнир и подпятник. Тела, соединенные шарниром, могут как угодно поворачиваться одно относительно другого вокруг центра шарнира. Если тело прикреплено с помощью такого шарнира к неподвижной опоре, то (.)А тела не может при этом совершать никакого перемещения в пространстве.
Рассмотрим тело, которое может перемещаться без трения по гладкой горизонтальной поверхности (Рис.1а ).
Пусть в качестве активной силы выступает сила веса $\vec{Р}$, приложенная в его центре тяжести. Реакция связи $\vec{N}$ представлена силой, распределенной по плоскости нижней грани этого тела, и ее можно считать приложенной в центре этой грани.
Принципиально картина не меняется, если поверхность тела или связи будет гладкой, но криволинейной (Рис.1б ).
Пусть тело в виде бруса с гладкой поверхностью опирается в точке А на идеально гладкую поверхность, а в точке В – на уступ (Рис.1в ).
Нетрудно догадаться, что тело не сможет находиться в равновесии, если в качестве активной силы выступает его собственный вес, однако равновесие возможно, если к этому брусу приложить некоторую другую внешнюю силу $\vec{F}$. При этом, как будет показано в следующей главе, равновесие возможно только в том случае, если линия действия этой силы проходит через точку пересечения линий действия реакций $R_A$ и $R_B$.
Итак, по поводу этого типа связи можно сделать следующий вывод: реакция идеально гладкой поверхности приложена в точке касания и направлена по нормали к поверхности тела или связи .
2. Гибкая невесомая и нерастяжимая нить. Рассмотрим тело, которое подвешено на двух таких нитях и находится в равновесии под действием собственного веса и реакций нитей, прикрепленных к телу в точках А и В (Рис.2 слева ).
Слева: Гибкая невесомая и нерастяжимая нить
слева
)
справа
)
Реакция связи равна силе натяжения нити, она направлена вдоль нити и от тела, которое эта нить удерживает.
3. Жесткий невесомый прямолинейный стержень. Реакция направлена вдоль стержня , который, в отличие от нити, может воспринимать как растягивающие ($\vec{S_B}$), так и сжимающие ($\vec{S_A}$) усилия (Рис.2 справа ).
Справа : Жесткий невесомый прямолинейный стержень
Гибкая невесомая и нерастяжимая нить (слева
)
Жесткий невесомый прямолинейный стержень (справа
)
Допускает перемещение закрепленным таким образом точки тела только вдоль опорной плоскости (Рис.3а ).
Реакция направлена перпендикулярно заштрихованной опорной площадке.
В учебной литературе этот вид связи также называют подвижным цилиндрическим шарниром .
Помимо стандартного обозначения, предусмотренного ГОСТом, на схемах эту связь изображают так, как показано на рис.3б .
Отметим, что четыре рассмотренные связи имеют одну общую особенность: соответствующие им реакции известны по направлению и неизвестны по величине. То есть с точки зрения алгебры каждая из этих реакций соответствует только одному неизвестному .
Препятствует перемещению закрепленной таким образом точки тела в горизонтальном и вертикальном направлениях. Это означает, что в общем случае реакция $\vec{R_A}$ такой связи неизвестна по величине и по направлению . В качестве неизвестных при ее определении можно выбрать модуль реакции – $|\vec{R_A}|$ и угол $\varphi$, который она образует с осью Ox , либо проекции вектора $\vec{R_A}$ на оси координат: R AX , R AY (Рис.4а ).
Эта связь допускает поворот тела вокруг рассматриваемой точки, поэтому в учебной литературе эту связь также называют неподвижным цилиндрическим шарниром.
Помимо стандартного обозначения, предусмотренного ГОСТом, на схемах она изображается так, как показано на рис.4б .
6. Сферический шарнир. В отличие от цилиндрического шарнира не допускает перемещения закрепленной таким образом точки тела в трех взаимно перпендикулярных направлениях. В качестве неизвестных при ее определении выбирают проекции этой реакции на оси координат: R AX , R AY , R AZ (Рис.5 ).
Одним из основных понятий механики является понятие механической системы. Под механической системой понимают совокупность конечного или бесконечного числа материальных точек (или тел), взаимодействующих между собой в соответствии с третьим законом Ньютона. Отсюда следует, что движение каждой точки (или тела) системы зависит как от положения, так и от движения остальных точек рассматриваемой механической системы.
Системы различают свободные и несвободные. Система называется свободной, если все входящие в нее точки могут занимать произвольные положения и иметь произвольные скорости. В противном случае, т. е. когда материальные точки, входящие в систему, не могут занимать произвольных положений или же не могут иметь произвольных скоростей, система называется несвободной.
Примером свободной механической системы может служить солнечная система, в которой Солнце и планеты можно рассматривать как материальные тела, находящиеся под взаимным действием сил ньютонианского притяжения.
Примером несвободной системы может служить система, состоящая из точек, из которых одна или
несколько вынуждены при своем движении оставаться на каких-либо линиях или поверхностях.
С указанным делением систем на свободные и несвободные связано понятие связи.
Под связью в механике понимают условия, накладывающие ограничения на свободу перемещения точек системы. Связи могут накладывать ограничения как на положения точек, так и на их скорости. Практически связи осуществляются с помощью материальных тел или приспособлений (стержней, нитей, шарниров и т. п.).
Подобно тому как силы, действующие на точки системы, подразделяют на силы внутренние и силы внешние, так и связи, наложенные на точки системы, можно подразделить на связи внутренние и связи внешние. Под внутренними связями понимают такие связи, которые будучи наложены на точки системы, не препятствуют системе свободно перемещаться после того, как она внезапно отвердеет. Связь, не обладающая этим свойством, называется внешней. Например, если две точки твердого тела соединены между собой нерастяжимым и невесомым стержнем, то такая связь будет внутренней. Таким образом твердое тело можно рассматривать как систему, подчиненную внутренним связям. Если же одна из точек твердого тела шарнирно закреплена, то в этом случае связь будет внешней.
Система, подчиненная одним лишь внутренним связям, является свободной, так как она может перемещаться как свободное твердое тело. Если же в числе связей, наложенных на точки системы, имеются внешние связи, то система является несвободной.
Условия, ограничивающие свободу перемещения точек системы, аналитически выражаются в виде уравнений или неравенств вида.
где - время, - соответственно координаты и скорости точки системы,
отнесенные к некоторой инерциальной системе отсчета, относительно которой рассматривается движение данной системы.
Связи различают удерживающие и неудерживающие; первым соответствует знак равенства в (1.1), вторым - знак неравенства.
Удерживающие и неудерживающие связи иногда соответственно называют двухсторонними и односторонними связями. Удерживающая связь, препятствуя перемещению в одном направлении, препятствует также перемещению в противоположном направлении. Неудерживающая связь препятствует перемещению в одном направлении, но не препятствует перемещению в противоположном направлении.
Примером удерживающей связи могут служить две параллельные плоскости, между которыми происходит движение шарика. Рассматривая среднюю между ними плоскость как координатную плоскость получаем уравнение связи в виде: Если же шарик движется по горизонтальной плоскости любой момент может покинуть ее, то эта плоскость будет являться неудерживающей связью. Условие такой связи будет выражаться неравенством (или ).
Другим примером неудерживающей связи может служить нить с шариком на конце. Принимая точку подвеса нити за начало координат и считая нить нерастяжимой, можем условие этой связи записать в виде неравенства
где - координаты шарика, - длина нити.
Если в процессе движения шарика выполняется неравенство
то это означает, что нить ослаблена и шарик освободился от связи.
Если же при движении шарика выполняется равенство
то это означает, что нить натянута, и на шарик действует связь.
В зависимости от того, содержит ли уравнение связи в явном виде время или нет, связи подразделяются на нестационарные (реономные) и стационарные (склерономные).
Связи, которые накладывают ограничения только на положения точек системы, называются конечными или геометрическими; аналитически они выражаются уравнением
Здесь и в дальнейшем предполагаем связи удерживающими.
Если же связи накладывают ограничения не только на положения точек, но и на их скорости, то они называются дифференциальными или кинематическими, и их аналитическое выражение имеет вид
Связи подразделяют также на голономные и неголономные. К голономным связям относят все конечные или геометрические связи вида (1.2), т. е. все связи, которые накладывают ограничения на возможные положения точек системы. К голономным связям относятся также и дифференциальные связи, которые путем интегрирования могут быть приведены к соотношениям вида (1.2):
где - некоторые функции координат возможно, времени .
Если же дифференциальные связи вида (1.4) не могут быть путем интегрирования приведены к конечным соотношениям вида (1.2), то они называются
неголономными или неинтегрируемими. Г. Герц обратил внимание на важность различия между голономными и неголономными связями для понятия виртуального перемещения системы.
Легко видеть, что если голономные связи накладывают ограничения на возможные положения точек системы, то неголономные связи накладывают ограничения на скорости точек системы. Это следует из того, что уравнение неголономной связи (1.4) всегда может быть представлено в следующем виде:
Механические системы, подчиненные голономным связям, называются голономными системами. Если же в числе связей имеются неголономные, то системы называются неголономными.
Если на систему наложены только неголономные связи, то такая система называется сдвершенно неголономной или собственно неголономной.
Классическим примером движения неголономной системы может служить качение твердого шара по шероховатой плоскости (например, движение бильярдного шара).
Пусть твердый шар радиусом катится без скольжения по абсолютно шероховатой плоскости. Возьмем две системы координат с общим началом в центре шара С. Одна из них (система пусть движется поступательно, а вторая (система ) пусть будет жестко связана с шаром (рис. 1).
Положение шара в каждый момент времени может быть определено пятью координатами: двумя координатами центра шара (третья координата ) и тремя углами Эйлера: углом прецессии углом нутации 0 и углом собственного вращения (рис. 1). Условием связи в рассматриваемой задаче является условие касания шара с плоскостью и обращение
в нуль скорости точки А касания шара. Принимая центр шара С за полюс и обозначая его скорость через мгновенную угловую скорость вращения шара - через , а вектор-радиус, проведенный из центра шара в точку касания , - через , можем записать скорость точки А в следующем виде:
Проектируя это векторное равенство на оси координат и удовлетворяя условию связи получаем
где - составляющие вектора угловой скорости . Последнее уравнение интегрируется и дает одно уравнение связи показывающее, что центр шара С движется в плоскости, параллельной плоскости и отстоящей от нее на расстоянии, равном радиусу шара R.